LANGAGE, LOGIQUE, ENSEMBLE : 

Rien cette semaine
 

ANALYSE ELEMENTAIRE (Chapitres 1 et 2 + fonction artan)



- La fonction valeur absolue : équations et inéquations usuelles, savoir reformuler sans valeur absolue (pour dériver par opérations en particulier), savoir que valeur absolue est continue sur R mais pas dérivable en 0.

- Le théorème de bijection monotone, application aux fonction racines n-ièmes qui sont définies sur R quand n est impair et sur R+ quand n est pair. Savoir que les fonction racines niemes ne sont pas dérivables en 0. Savoir formuler si c'est possible une bijection réciproque et savoir aussi dériver une bijection réciproque. La fonction arctan (valeurs usuelles et dérivée)

- Fonctions définies par morceaux : savoir étudier la continuité et la dérivabilité.

Attention : je n'ai pas énoncé le TVI mais le théorème de bijection, c'est Morgan Pierre au second semestre qui approfondira ce thème, merci de ne pas poser d'exercices ciblés sur ce thème, il s'agit plutôt de faire des études de fonctions en définissant correctement les intervalles sur lesquels on peut dériver par opérations. 
Les fonctions arcsin et arccos ne sont pas encore au programme, l'exponentielle de base a non plus et les prolongements par continuité non plus.
 

ALGEBRE : Chapitre 2 





Applications injectives et surjectives, bijections, bijections réciproques, image d'ensembles, image réciproque d'ensembles.

N'hésitez pas à poser aux étudiants des applications de la variable complexe pour leur faire réviser le chapitre 1 d'algèbre.


 

QUESTIONS DE COURS POSSIBLES :

- Donner la définition de la fonction racine cinquième (réponse attendue : c'est la bijection réciproque de l'application de R vers R,  f(x)=x^5, elle est définie sur R et on la note g(x)=x^{1/5}
- Donner la définition de la fonction racine douzième de x (réponse attendue : c'est la bijection réciproque de l'application de R^+ dans R^+ , f(x)=x^{12}. On  la note g(x)=x^{1/12}$ et elle est définie sur R^+.
- Donner une reformulation équivalente du booléen |u| < alpha quand alpha >0
- Donner la définition de la fonction artan
- Enoncer le théorème de bijection  monotone
- Donner la définition en langage math d'une application f de E dans F injective
- Donner la définition en langage math d'une application f de E dans F surjective
- Soit f une application de E dans F, et A une partie de E, écrire en langage ensembliste l'image de A notée f(A).
- Soit f une application de E dans F, et B une partie de F, écrire en langage ensembliste l'image réciproque de B notée f^{-1}(B).
 etc ...
 

DEMOS 

1) Si f est une application bijective d'un intervalle I vers un intervalle J, le graphe de la bijection réciproque est le symétrique du graphe de f selon la droite y=x

2) Montrer que la fonction f(x)=arctan x est dérivable sur R et déterminer sa dérivée.