PROGRAMME DE LA COLLE 4
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ALGEBRE
- Les polynômes
Factorisation primaire des polynômes. Le pgcd n'est pas au programme de cette colle, il sera au programme de la colle 5.
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LOGIQUE, OUTILS
- Le symbole Sigma pour les sommes finies
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Questions de cours possibles (liste non exhaustive)
- Somme géométrique : Soit x complexe et n0 un entier naturel et n un entier naturel plus grand que n0. Donner la valeur de la somme des x^k pour k allant de n0 à n. (ne pas oublier le cas x=1)
- Somme arithmétique : Soit r complexe non nul et a un complexe et n0 un entier naturel et n un entier naturel plus grand que n0. Donner la valeur de la somme des a +kr pour k allant de n0 à n.
- Enoncer la formule du binôme
- Ecrire (a-b)^5 grâce au triangle de Pascal pour a,b complexes.
- Enoncer le théorème de division euclidienne pour deux polynômes
- Si a est racine complexe non réelle d'un polynôme réel P, quel polynôme réel divise P ?
- Soit a une racine de P.
(i) Comment caractérise-t-on la multiplicité de a avec les dérivées de P ? (theorème 0.2)
(ii) Comment caractérise-t-on la multiplicité de a avec (X-a) ? Réponse attendue : C'est l'entier k tel que (X-a)^k divise P et (X-a)^{k+1} ne divise pas P
(iii) Comment caractérise-t-on la multiplicité de a avec la factorisation primaire de P ? Réponse attendue : c'est la valuation en X-a dans la factorisation primaire de P
- Donner la définition d'un polynôme premier
- Qui sont les polynômes premiers de C[X]? De R[X] ? (théorème)
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Démonstrations au programme :
Enoncer et démontrer la formule du triangle de Pascal
Linéariser cos^4 t
Soit P un polynôme de K[X] et a dans K, montrer que P(a)=0 si et seulement si X-a divise P dans K[X]