Site des L1PR

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• ALGEBRE
  
  - Les polynômes
  
  
  
  
  Factorisation primaire des polynômes. Le pgcd n'est pas au programme de cette colle, il sera au programme de la colle 5.
   

• LOGIQUE, OUTILS
  
  - Le symbole Sigma pour les sommes finies 
  
  
  
  
  
   

• Questions de cours possibles (liste non exhaustive)
  
  - Somme géométrique : Soit x complexe et n0 un entier naturel et n un entier naturel plus grand que n0. Donner la valeur de la somme des x^k pour k allant de n0 à n. (ne pas oublier le cas x=1) 
  - Somme arithmétique : Soit r complexe non nul et a un complexe et n0 un entier naturel et n un entier naturel plus grand que n0. Donner la valeur de la somme des a +kr pour k allant de n0 à n.
  - Enoncer la formule du binôme
  - Ecrire (a-b)^5 grâce au triangle de Pascal pour a,b complexes.
  - Enoncer le théorème de division euclidienne pour deux polynômes
  - Si a est racine complexe non réelle d'un polynôme réel P, quel polynôme réel divise P ?
  - Soit  a une racine de P.
       (i) Comment caractérise-t-on la multiplicité de a avec les dérivées de P ? (theorème 0.2)
       (ii) Comment caractérise-t-on la multiplicité de a avec (X-a) ? Réponse attendue : C'est l'entier k tel que (X-a)^k divise P et (X-a)^{k+1} ne divise pas P
       (iii) Comment caractérise-t-on la multiplicité de a avec la factorisation primaire de P ? Réponse attendue : c'est la valuation en X-a dans la factorisation primaire de P
  - Donner la définition d'un polynôme premier 
  - Qui sont les polynômes premiers de C[X]? De R[X] ? (théorème)
  
   

• Démonstrations au programme :
  
  Enoncer et démontrer la formule du triangle de Pascal 
  Linéariser cos^4 t
  Soit P un polynôme de K[X] et a dans K, montrer que P(a)=0 si et seulement si X-a divise P dans K[X]